شناسه خبر : 6682 لینک کوتاه
تاریخ انتشار:

مروری بر کتاب ریاضیات زیبا نوشته تام سیگفرید

دستاوردهای باورنکردنی یک ذهن زیبا

راجر مایرسون، عقیده دارد نظریه نش درباره بازی‌های غیرهمکارانه را باید یکی از پیشرفت‌های برجسته در قرن بیستم شناخت که می‌توان آن را با کشف ساختار مارپیچ دوگانه DNA در علوم زیستی مقایسه کرد.

تام سیگفرید

راجر مایرسون، عقیده دارد نظریه نش درباره بازی‌های غیرهمکارانه را باید یکی از پیشرفت‌های برجسته در قرن بیستم شناخت که می‌توان آن را با کشف ساختار مارپیچ دوگانه DNA در علوم زیستی مقایسه کرد. حتی در توصیه‌نامه داده‌شده به جان نش، بدون توضیح زیاد فقط یک جمله آمده بود: «این مرد یک نابغه است.» این چیزی بود که استاد دانشگاه کارنگی، پروفسور دافین، برای توصیف نش به اعضای هیات علمی دانشگاه پرینستون به کار برد؛ جایی که نش در سال 1948 در 20‌سالگی به عنوان دانشجوی تحصیلات تکمیلی وارد آنجا شده بود. در طول دو سال، تشخیص دافین محقق شد. «ذهن زیبا»ی نش، انقلابی به راه انداخت که سرانجام نظریه بازی‌ها را به زیربنای علوم اجتماعی هدایت کرد. کمی قبل از آمدن نش به پرینستون، فون نویمان و مورگن اشترن زمینه کاملاً جدیدی از ریاضیات را با کتاب خود، نظریه بازی‌ها و رفتار اقتصادی شروع کرده بودند.
البته متاسفانه بیماری روانی نش، عقلانیت مردی را زائل کرد که ریاضیات او جوهره عقلانیت را به خدمت گرفته بود. نش قبل از دوره طولانی انزوا، به‌گونه‌ای موفقیت‌آمیز نظریه بازی‌ها را به سمت مقصد ریاضی واقعی آن هدایت کرد. هرچند در ابتدا از این نظریه استقبال نشد، سرانجام نگرش نش به نظریه بازی‌ها سهم اساسی از بازار نظریه‌های اقتصادی را به خود اختصاص داد و منجر شد جایزه نوبل اقتصاد در سال 1994 به او تعلق بگیرد. قبل از آن، نظریه بازی‌ها زیست‌شناسی تکاملی، علوم اجتماعی، روانشناسی، و جامعه‌شناسی را تسخیر کرده بود. پس از جایزه نوبل، نظریه بازی‌ها در انسان‌شناسی، علوم اعصاب، و حتی فیزیک نیز نفوذ کرد. تردیدی نیست که ریاضیات نش کاربرد وسیع نظریه بازی‌ها را در جهان امکان‌پذیر کرد.
راجر مایرسون، اقتصاددان دانشگاه شیکاگو، می‌نویسد: «نش علوم اجتماعی را به جهان جدیدی برد که در آن ساختار متحد تحلیلی را می‌توان برای مطالعه همه وضعیت‌های تعارض و همکاری پیدا کرد. نظریه بازی‌های غیرهمکارانه، که نش ارائه کرد، ریاضیات کاربردی را توسعه داده است که می‌تواند به ما کمک کند تا تعارض‌ها‌ و همکاری‌ها را به‌طور واقعی در هر سازمان اقتصادی، اجتماعی، و سیاسی بهتر درک کنیم.»
چندان نامعقول نیست که بگوییم ریاضیات نش اساس رمز طبیعت مدرن را فراهم می‌کند، اما البته موضوع به این سادگی نیست. از همان آغاز، نظریه بازی‌ها تاریخی پیچیده و بحث‌برانگیز داشته است. گرچه امروزه عده‌ای این نظریه را می‌ستایند، هنوز بعضی دیگر آن را به تمسخر می‌گیرند. بعضی ادعا می‌کنند که نتایج آزمایش‌هایشان نظریه بازی‌ها را رد می‌کند، اما عده‌ای دیگر می‌گویند که آزمایش‌ها نظریه بازی‌ها را گسترش داده و آن را بهبود بخشیده است. به هر حال، نظریه بازی‌ها چنان نقش برجسته‌ای در بسیاری از حوزه‌های علمی داشته است که نمی‌توان آن را نظیر روزهای نخستش نادیده گرفت.
وقتی فون نویمان و مورگن اشترن نظریه بازی‌ها را به عنوان ریاضیاتی برای علم اقتصاد معرفی کردند سروصدایی به پا شد، اما اکثر اقتصاددانان آن را نشنیده گرفتند. در اواسط دهه 1960 اقتصاددان پل ساموئلسون بینش کتاب فون نویمان و مورگن اشترن و تاثیرش در دیگر زمینه‌ها را ستایش کرد و نوشت: «این کتاب هر کاری انجام داده است به جز چیزی که برای انجام آن شروع شد؛ تئوری اقتصادی انقلابی.» البته این‌طور نبود که اقتصاددانان چیزی درباره آن نشنیده باشند. در سال‌های پس از انتشار، کتاب نظریه بازی‌ها و رفتار اقتصادی به گستردگی در مجلات علوم اقتصادی و اجتماعی نقد شد. علاوه بر این، اظهارنظر مشتاقانه‌تری در مجله ریاضیات دیده شد که در آن منتقدی نوشت: «آیندگان ممکن است به این کتاب به عنوان یکی از موفقیت‌های علمی عمده در نیمه اول قرن بیستم توجه کنند.» طولی نکشید که دنیا درباره نظریه بازی‌ها چیزهایی یاد گرفت. این کتاب در سال 1946 در صفحه اول نیویورک‌تایمز معرفی شد و سه سال بعد، بخش عمده‌ای از آن در مجله فورچون چاپ شد.
همان‌گونه که فون نویمان و مورگن اشترن تاکید کرده بودند از ابتدا به وضوح احساس می‌شد که نظریه بازی‌ها در خارج از اقتصاد کاربرد خواهد داشت. این نظریه دارای عناصر نظریه رفتارهای انسانی بود. درواقع تکنیک‌هایی که نویسندگان برای حل مسائل اقتصادی به کار گرفته‌اند به قدر کافی عمومیت دارند که برای علوم سیاسی، جامعه‌شناسی، یا حتی استراتژی‌های نظامی هم معتبر باشند.

در جست‌وجوی تعادل
مقاله نش درباره مساله دادوستد، او را در زمره یکی از پیشگامان نظریه بازی‌ها قرار داد. اما مقاله دیگری، که پایان‌نامه دکترایش شد، او را به مقام پیامبری این نظریه رساند. این مقاله «تعادل نش» را معرفی می‌کرد که عاقبت به برجسته‌ترین ستون نظریه بازی‌ها بدل شد. البته ایده تعادل برای بسیاری از زمینه‌های علمی بسیار مهم است. تعادل به معنای آن است که چیزها توازن یا پایداری دارند و پایداری به ایده‌ای اساسی برای درک بسیاری از فرآیندهای طبیعی تبدیل شده است. سیستم‌های زیستی، شیمیایی و فیزیکی، حتی سیستم‌های اجتماعی همگی در جست‌وجوی پایداری هستند. بنابراین تشخیص اینکه پایداری چگونه به دست می‌آید نقشی کلیدی در پیش‌بینی آینده دارد. اگر وضعیتی ناپایدار باشد، همچنان که بسیاری از وضعیت‌ها هستند، می‌توانید مسیر وقایع آینده را با لحاظ کردن برخی ضرورت‌ها پیش‌بینی کنید.
ساده‌ترین مثال، تخته‌سنگی است که تعادلش را نوک قله کوهی حفظ کرده است. این وضعیت خیلی پایدار نیست و مطمئناً می‌توانید آینده‌اش را پیش‌بینی کنید. تخته‌سنگ از روی کوه غلت می‌خورد و در دره‌ای به نقطه تعادل می‌رسد. نمونه دیگری از تعادل وقتی است که سعی می‌کنید مقدار زیادی شکر را در لیوانِ چای سرد حل کنید. توده‌ای از شکر در لیوان چای ته‌نشین می‌شود. وقتی محلول به حد اشباع می‌رسد، مولکول‌های توده شکر به حل شدن ادامه می‌دهند، اما مولکول‌های شکر دیگری از محلول چای جدا می‌شوند و به توده شکر می‌پیوندند. در این حالت چای در وضعیت پایداری قرار دارد و مقدار شیرینی‌اش ثابت می‌ماند.
این همان اصل کلی در واکنش شیمیایی است که فقط کمی پیچیده‌تر است و پایداری در آن به معنای رسیدن به حالتی از «تعادل شیمیایی» است که مقدار واکنشگرها و محصول‌هایش ثابت می‌ماند. در واکنشی عادی دو ماده شیمیایی مختلف با هم واکنش می‌دهند و ماده سومی را تولید می‌کنند. اغلب این وضعیت پیش نمی‌آید که دو ماده شیمیایی کاملاً ناپدید شوند و فقط ماده جدید باقی بماند. ابتدا مقدار مواد واکنش‌دهنده کاهش و مقدار محصول افزایش می‌یابد، اما نهایتاً به نقطه‌ای می‌رسد که مقدار هیچ یک از مواد تغییر نمی‌کند. در حالی که دو ماده شیمیایی واکنش می‌دهند تا محصول سومی را بسازند، واکنش ادامه می‌یابد و مقداری از محصول نیز تجزیه می‌شود تا دو ماده اولیه را ایجاد کند. به عبارت دیگر، حرکت ادامه می‌یابد، اما تصویر اصلی تغییری نمی‌کند.
این تعادلی شیمیایی است و به لحاظ ریاضیاتی با قانون عمل جِرم شیمیدان‌ها توصیف می‌شود. وقتی نش به پایداری در نظریه بازی‌ها می‌اندیشید، این نوع تعادل فیزیکی را در ذهن خود داشت. او در پایان‌نامه‌اش به قانون عمل جِرم به عنوان تعبیری از تعادل اشاره می‌کند و می‌نویسد وقتی بازیکن‌ها «اطلاعات تجربی» درباره هزینه‌های استراتژی‌شان جمع کنند، بازی به چنین تعادلی نزدیک می‌شود.
وقتی واکنش شیمیایی به تعادل می‌رسد، دیگر مقدار مواد شیمیایی تغییر نمی‌کند. وقتی بازی به تعادل می‌رسد، هیچ‌کس تمایلی به تغییر استراتژی‌ها ندارد. بنابراین انتخاب استراتژی‌ها ثابت می‌ماند و به عبارت دیگر وضعیت بازی پایدار می‌شود. همه بازیکن‌ها باید از استراتژی اتخاذشده راضی باشند؛ بدان معنی که هیچ استراتژی بهتری وجود ندارد تا وقتی که کسی استراتژی دیگری انتخاب نکرده است. پایداری در موقعیت‌های اجتماعی نیز به معنای آن است که هر‌کس از موقعیتش راضی باشد. ممکن است شکل فعلی چیزها را دوست نداشته باشید، اما تغییر آنها فقط وضعیت را بدتر می‌کند. وقتی انگیزه و نیرویی (مثل تخته‌سنگ دره) برای تغییر وجود نداشته باشد، وضعیت به نقطه تعادل رسیده است.
نش در پایان‌نامه دکترایش نوشت: «استراتژی مختلط هر بازیکن در نقطه تعادل سود او را حداکثر می‌کند، به شرط آنکه استراتژی سایر بازیکن‌ها ثابت بماند»؛ به عبارت دیگر، اگر چنین بازی‌ای را انجام می‌دهید، حداقل ترکیبی از استراتژی‌ها وجود دارد به‌طوری که اگر شما استراتژی‌تان را تغییر دهید و بازیکن‌های دیگر استراتژی‌شان را تغییر ندهند، ضرر خواهید کرد. بیان ساده‌تر این ماجرا این است که تعادل نش به ما می‌گوید در جهانی که هیچ‌کس کار اشتباهی انجام ندهد، انتظار داریم چه چیزی را ببینیم.» فون نویمان به نتایج نش بی‌اعتنا بود؛ چرا که او نظریه بازی‌ها را به مسیر دیگری برد. اما نهایتاً بسیاری، درخشش و سودمندی آن را تشخیص دادند.

بلوغ نظریه بازی‌ها
نش فوراً ایده تعادلش را چاپ کرد. نسخه خلاصه دوصفحه‌ای در سال 1950 در مجله پیشرفت‌های آکادمی ملی علوم منتشر شد. مقاله «نقاط تعادل در بازی‌های n نفره» مختصراً (و البته غیرواضح برای غیر‌ریاضیدانان) راه‌حلی برای بازی‌های چندنفره ارائه داد. راه‌حل ارائه‌شده از سوی نش، مجموعه‌ای از استراتژی‌ها بود، به طوری که هیچ بازیکنی نمی‌توانست به تنهایی با انتخاب استراتژی متفاوت، سود بیشتری را به دست آورد. او این مقاله را به عنوان پایان‌نامه دکترایش بسط داد و نسخه طولانی‌تر آن را در سال 1951 در سالنامه ریاضیات با عنوان «بازی‌های غیر‌همکارانه» منتشر کرد.
نش در مقاله‌اش می‌نویسد که فون نویمان و مورگن اشترن نظریه بسیار مفیدی برای بازی‌های دونفره جمع صفر ارائه کرده‌اند. گرچه نظریه‌شان درباره بازی‌های چندنفره محدود به بازی‌هایی بود که نش آن را «همکارانه» نامید، این نظریه تعامل بین ائتلاف بازیکن‌ها را تحلیل می‌کند. نش همچنین نوشت: «تفاوت نظریه او در این است که بر مبنای نبود ائتلاف در بازی استوار شده است و فرض می‌کند که هر بازیکن مستقل و بدون همکاری یا ارتباط با دیگر بازیکن‌ها عمل می‌کند. به عبارت دیگر، نش نسخه «هرکسی برای خود» را از بازی‌های چندنفره گرفت و به همین دلیل، آن را نظریه بازی‌های غیر‌همکارانه نامید. وقتی در این باره فکر کنید، می‌بینید که این نگرش بسیاری از وضعیت‌های اجتماعی را در‌بر می‌گیرد. تعادل نش شرح می‌دهد که چگونه در این جهان بی‌رحم هر کسی می‌تواند بهترین روش ممکن را انتخاب کند. هرولد کاون، نظریه‌پرداز بازی‌ها می‌نویسد: «تمایزی که نش بین بازی‌های همکارانه و غیرهمکارانه ایجاد کرد تا امروز بی‌چون و چرا باقی‌مانده است.»
با وجود این، مفهوم تعادل نش یک ویژگی مهم جهان اجتماعی را در‌بر می‌گیرد. می‌توانید با استفاده از ریاضیات نش بفهمید که مردم چگونه در یک موقعیت اجتماعی، در مقایسه با همان موقعیت در بازی مناسب به تعادل می‌رسند. بنابراین اگر می‌خواهید نظریه بازی‌ها را در زندگی واقعی به کار ببرید، نیاز دارید تا بازی ابداع کنید که همه ویژگی‌های ضروریِ موقعیت‌های زندگی که به آن علاقه‌مندید را دربر گیرد.

یک مثال جالب!
جالب است بدانید که نظریه‌پردازان بازی‌ها، بیشتر از بازی‌هایی که می‌توانید از فروشگاه اسباب‌بازی بخرید، بازی ابداع کرده‌اند. می‌توانید با بررسی مقالات نظریه بازی‌ها، بازی‌های سکه‌های جور، بازی ترسوها، کالای عمومی، جنگ جنسیت‌ها، شکار گوزن، و صدها بازی دیگر را پیدا کنید. اما یکی از معروف‌ترین بازی‌ها سناریویی جذاب و البته شیطانی است که به نام معمای زندانی شناخته می‌شود که البته درباره آن زیاد سخن گفته شده است. در اینجا می‌خواهیم، بازی جالب دیگری با عنوان بازی کالای عمومی را به عنوان مثال مطرح کنیم.
این بازی در وهله اول «تک‌روی» را نشان می‌دهد. ایده بازی این است که بعضی از افراد یک انجمن، بدون پرداخت هیچ هزینه‌ای، از عضویت‌شان منافعی به دست می‌آورند. مثل وقتی که تلویزیون عمومی نگاه می‌کنید بدون اینکه هیچ پولی بپردازید. در نگاه اول کسی که «تک‌رو» است برنده بازی می‌شود و بدون پرداخت هزینه‌ای منفعت می‌برد. اما کمی صبر کنید. اگر همه این‌گونه عمل کنند، هیچ منفعتی برای کسی باقی نمی‌ماند یا به عبارتی، سواری مجانی در کار نخواهد بود.
به همین ترتیب، فرض کنید انجمن محله شما تصمیم گرفته است مبالغی برای ساخت یک پارک جمع‌آوری کند. شما از پارک رفتن لذت می‌برید، اما اگر استدلال کنید که بقیه همسایه‌ها در این کار مشارکت می‌کنند و پول کافی جمع خواهد شد، ممکن است تصمیم بگیرید سهمی نپردازید. اگر همه این‌گونه استدلال کنند، پارکی ساخته نمی‌شود. اگر فرض کنید که مشارکت کردن یا مشارکت نکردن تنها استراتژی ممکن نیست، می‌توانید استراتژی سومی را در نظر بگیرید: «مقابله به مثل کردن». اگر شما این استراتژی را انتخاب کنید، فقط وقتی پول می‌دهید که بدانید شمار معینی از بقیه بازیکن‌ها تصمیم به پرداخت پول گرفته‌اند. شبیه‌سازی کامپیوتری این نوع بازی نشان می‌دهد که مخلوطی از استراتژی‌های بین بازیکن‌ها می‌تواند به تعادل نش منجر شود.
در آزمایش با مردم واقعی همین نتیجه دیده می‌شود. در تحقیقی که در سال 2005 منتشر شد، دانشجویان را در نسخه طراحی‌شده بازی «کالای عمومی» سنجیدند. به چهار بازیکن، نفری یک کوپن (به نشانه پول) دادند و گفتند می‌توانند هرقدر که دوست دارند به «صندوق عمومی» کمک کنند و مابقی را برای خودشان نگه دارند. پس از آن، طراحانِ آزمایش تعداد کوپن‌های صندوق را دو برابر کردند. از بازیکن‌ها سوال شد که چه مقدار به صندوق کمک کرده‌اند و سپس به آنها فرصت دادند تا مقدار کمک‌شان را تغییر دهند. در پایان بازی (بعد از چند دور که تصادفی تعیین شد) همه کوپن‌ها به تساوی بین بازیکن‌ها تقسیم شد.
اگر شما بودید، چگونه بازی می‌کردید؟ از آنجا که در پایان بازی هر چهار بازیکن مبلغ صندوق را به تساوی تقسیم کردند، کسی که با کمترین مبلغ شروع کرده بود در پایان بازی بیشترین سهم را گرفت؛ یعنی سهمش از صندوق به اضافه مقداری که برای خودش نگه داشته بود. البته اگر کسی چیزی در صندوق نمی‌ریخت تا با آن شروع کنند، هیچ‌کس از منافع دست و دلبازی آزمایش‌کنندگان بهره‌ای نمی‌برد. بنابراین به نظر می‌رسد که اهدای مبلغی به صندوق، استراتژی خوبی است. اگر بخواهید سودی بیشتر از دیگران به دست آورید، باید کمتر از دیگران در صندوق پول بریزید. به عبارت دیگر، اگر شما در شروع بازی پول بیشتری در صندوق بریزید، افراد گروه پول بیشتری به دست می‌آورند، در این صورت ممکن است شما بیشتر از بقیه پولی نگیرید، اما از مبلغ اولیه خودتان بیشتر گیرتان می‌آید. وقتی گروه‌های چهارنفره مرتباً این بازی را تکرار کردند، الگویی از رفتار ظاهر شد. بازیکن‌ها به سه گروه مشخص تقسیم شدند: «مشارکت‌کننده‌ها»، «تک‌روها یا سواری مجانی‌گیرها» و «مقابله به مثل‌کننده‌ها». بازیکن‌ها در طی بازی فهمیدند چه مقدار مشارکت شده است؛ از این‌رو، توانستند رفتارشان را مطابق با مشارکت تنظیم کنند. بعضی از بازیکن‌ها خسیس باقی ماندند (تک‌روها)، بعضی‌ها سخاوتمندانه به مشارکت‌شان ادامه دادند (مشارکت‌کننده‌ها)، و بقیه وقتی بیشتر مشارکت کردند که دیگر اعضای گروه پول کافی به صندوق اهدا کرده بودند (مقابله به مثل‌کننده‌ها). در طول زمان بازی، اعضای هر گروه به مقدار مساوی پول به دست آوردند که خبر می‌داد چیزی شبیه تعادل نش به دست آمده است. همه آنها با در نظر گرفتن استراتژی دیگران تا حد ممکن برنده بودند. به عبارت دیگر در این نوع بازی، انسان‌ها با استراتژی مخلوط بازی می‌کنند، حدود 13 درصد مشارکت‌کننده، 20 درصد تک‌رو، و 67 درصد مقابله به مثل‌‌کننده. رابرت کورزبان و دانیل هاوزر، طراحان این آزمایش، نوشتند: «نتایج ما این دیدگاه را تقویت می‌کند که جمعیت انسانی در تعادل به سر می‌برد.» آشنایی با تعادل نش کمک می‌کند تا نتایجی مانند آزمایش فوق‌‌الذکر منطقی به نظر برسند. در نهایت باید گفت بدیهی است که نظریه بازی‌ها همیشه نمی‌تواند با موفقیت پیش‌بینی کند که مردم چه کاری انجام خواهند داد و نمی‌تواند راه عاری از خطا پیشنهاد کند تا تعیین کند کار عاقلانه چیست، اما غالباً ملاحظات اضافی در انتخاب عاقلانه وجود دارد که در چارچوب ریاضیات نظریه بازی‌ها قرار نگرفته است. با وجود این، نظریه بازی‌ها نتیجه استراتژی‌های مختلف را در وضعیت‌های مختلف پیش‌بینی می‌کند. در اصل، می‌توانید از نظریه بازی‌ها برای تحلیل بسیاری از بازی‌های ساده همچنین بسیاری از مسائل جهان واقعی استفاده کنید، جایی که مفهوم بازی وسیع‌تر است. این نظریه طیف وسیعی از مسائل را دربر می‌گیرد، از تلاش رانندگان برای پیدا کردن جای پارک خودرو گرفته تا جنگ هسته‌ای جهانی.
ایده این است که به هنگام مواجهه با وضعیتی که باید تصمیم بگیرید در تعامل‌های استراتژیک چه کاری انجام دهید، ریاضیات به کار گرفته شده در نظریه بازی‌ها می‌تواند به شما بگوید کدام حرکت احتمالاً بیشتر موفقیت‌آمیز خواهد بود. بنابراین اگر می‌دانید چه چیزی را می‌خواهید به دست آورید، نظریه بازی‌ها می‌تواند به شما کمک کند.

دراین پرونده بخوانید ...

دیدگاه تان را بنویسید